Os números complexos podem ser considerados como pares ordenados de números reais, de maneira que podemos representá-los como pontos no plano. Vamos pressupor que as operações elementares de números complexos (soma, subtração, divisão, multiplicação, conjugado e inverso) são conhecidas pelo leitor.
Nesse blog iremos explorar alguns conceitos de geometria através dos números complexos.

Equação da Reta

Podemos representar  os números complexos como pontos no plano:
Dado um número complexo Z=a+bi podemos representar no plano através do par ordenado (a,b). Por meio dessa representação podemos por exemplo, encontrar as equações de reta e circunferencia no plano complexo.

Sejam A=(x₁,y₁) e B=(x₂,y₂) dois pontos fixados no plano cartesiano representando, respectivamente, os números complexos w₁=x₁+iy₁ e w₂=x₂ + i y₂. Seja P=(x,y) um ponto arbitrário da reta que passa pelos pontos A e B, de modo que z=x+iy seja um número complexo.

Desse modo, temos que :

OA+AP=OP,   se, e somente se,    _w1 + AP = z
OA+AB=OB    se, e somente se,    w₁ + AB =w₂

z−_w1=t (_w2−_w1) onde t é um número real. Logo, a equação da reta é dada pela equação:

Z(t)=w1+t(w2-w1) com t ∈ R

Através da equação da reta podemos verificar quando as retas são paralelas, perpendiculares ou quando três pontos são colineares e é isto que iremos mostrar agora.

1) Quando duas retas são paralelas?

Sejam Z1 a reta que passa pelos pontos w1 e w2 e Z2 a reta que passa por w3 e w4.

Sejam Z1(t)= w1+t(w2-w1) e Z2(t)= w3+t(w4-w3),
onde w1 é o ponto por onde passa a reta e (w2-w1) é a direção da reta

Se Arg(w2-w1) = Arg(w4-w3)± π ou Arg(w2-w1) = Arg(w4-w3) como os argumentos são iguais, então as retas são paralelas.

Exemplo: Verifique se as retas que passam pelos pontos w1, w2 e w3, w4 são paralelas, onde: w1= 1+i, w2= 2+2i,  w3= 2i  e w4= 2+4i.

Solução:  Fazendo, (w2-w1)= 2+2i-1-i= 1+i ⇒ arg (w2-w1)= π/4

                              (w4-w3)= 2+4i-2i= 2+2i ⇒ arg(w4-w3)= π/4
Como os argumentos são iguais, as retas são paralelas.

2) Quando duas retas são perpendiculares?

Sejam Z1(t)=w1+t(w2-w1) e Z2(t)=w3+t(w4-w3)

Se o Arg(w2-w1)= Arg(w4-w3)± π/2 , então as retas são perpendiculares outra maneira é
(w2-w1)/(w4-w3) ser imaginário puro.

Exemplo: Verifique se as retas que passam pelos pontos w1, w2 e w3, w4 são perpendiculares, dados:W1= 1, w2=i, w3= 1+i e w4= 2+2i.

Solução: Fazendo (w2-w1)= i-1 ⇒ arg (w2-w1)= 3π/4

(w4-w3)= 2+2i-1-i = 1+i ⇒ (w4-w3)= π/4 como o arg(w2-w1)= arg(w4-w3)= ±π/2, as retas acima são ditas perpendiculares.

3) Quando três pontos são colineares?

Dados w1, w2 e w3 números complexos é necessario que estejam sobre a mesma reta , para que os pontos w1,w2,w3 sejam colineares considere: 

 Seja z(t) =w1+t(w2-w1) com t ϵ R .

Para que sejam colineares é necessário que exista t ϵ ℜ, tal que:
z(t)=w3 ⇒ w1+t(w2-w1)=w3

t(w2-w1)=(w3-w1)

t=(w3-w1)/(w2-w1)

Para que os pontos sejam colineares é necessário que o resultado de

t=(w3-w1)/(w2-w1 )seja um número real.

Exemplo: Dados três pontos w1, w2 e w3 , verifique se esses pontos são colineares; dados

w1=1+i, w2= 2+2i e w3= 3+3i.

Solução: Fazendo t=(w3-w1)/w2-w1

t=(2+2i)-(1+i) / (2+i)-(1+i)

t=(2+2i /1+i ). (1-i /1-i)

t=2-2i ^2 /2

t=4/2

t=2

Logo w1,w2 e w3 são colineares, pois satisfizeram a condição de t ϵ ℜ.

4) Como escrevemos uma mediatriz no plano Complexo? 

Mediatriz é a reta que passa pelo ponto médio do segmento de reta que liga os pontos a ao b e é perpendicular a reta que passa pelos pontos a e b.

Utilizando a equação da reta: z(t) = w1+t(w2-w1) com t ϵ ℜ a equação da reta e w1 e w2 números complexos, vamos encontrar a equação da mediatriz de um segmento de extremos nos pontos  w1 e w2. A mediatriz procurada é a reta perpendicular à reta  r(t) = a+t(b-a) que passa por a e b e pelo ponto médio do segmento ab, portanto w1= (a+b)/2. Assim usando o item 2, temos que
arg (w2-w1)= arg (b-a)+π/2.
Logo a reta mediatriz tem equação dada por: Z(t)=1/2+t (1/2-i-1/2)
                                                                   Z(t)=1/2-t i

Exemplo: Mostre que as imagens dos complexos Z tais que (Z-1)⁵ = Z⁵ estão em linha reta paralela ao eixo imaginário.

Solução: Sabemos que o modulo de um número complexo é sempre positivo, assim através da igualdade dada no enunciado segue que: |Z-1|= |Z|, ou seja Z pertence a reta do segmento que liga os pontos a=1 e b=0, agora o segmento de reta que liga os pontos a e b é w1=1/2. 

5) Mostre que o segmento de reta que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro.

Os números complexos Z1,Z2,Z3 representam os vértices do triângulo digamos que o segmento [Z2, Z3] corresponde à base. Em seguida, os pontos centrais são dadas por |(Z1 + Z2) / 2|, |(Z1+ Z3) / 2|. Portanto, o comprimento do segmento de reta que os contém é igual a:| (Z1 + Z2) / 2 - (Z1 +Z3 ) / 2 | = (z2+z3) / 2. Podemos então verificar que este segmento de reta é paralelo a base.

Obs: Já mostramos anteriormente quando duas retas são paralelas.

6)Dado quatro pontos A, B, C e D no plano e tal que AB é perpendicular a BC e AB é perpendicular a AD, mostre que AD que é o ponto médio de CD é eqüidistante de AB.

Escolhemos o ponto médio de AB como a origem, sendo A igual a -1 e B igual a 1. Com as coordenadas escolhidas temos que: C= 1+y 1 e D= -1+y 2, logo em seguida o ponto médio de CD é dado por: i(y1 + y2)/2 que é claramente eqüidistante de A e B.

7) Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si.

Clique na figura para visualizar a imagem

Seja |Z|=|W|.

Portanto, (Z+W) i . (Z-W) i= -iZ.Z+ i W.W- i(-ZW+ WZ)= 2¥ (W.Z) que é um numero real. Portanto é paralelo a Z+ W que é o mesmo que dizer Z-W é perpendicular.

Obs: O ponto V representa a soma de Z+W.

Como podemos escrever uma circunferência no plano complexo?



Clique na figura para visualizar a imagem

Uma equação particularmente simples é de uma circunferência conforme a demonstração abaixo.

 O conjunto dado por: {z : |Z−a| = R; a ∈ C e R Real} é o conjunto de todos os pontos tais que suas distancias ao complexo a é constante e vale R, pois considere Z=x+yi e a=xa+iya dái, podemos escrever:
|Z-a|=R ⇒
|Z-a|²=R²⇒
|(x+iy)-(xa+iya)|²=R²⇒
(raiz[x-xa)+(y-ya)²])²=R²
(x-xa)² + (y-ya)²= R²
O lugar geométrico descrito é  a definição de uma circunferência de centro a e raio R.

O que nos dá  a equação analítica de uma circunferência de centro (xa , ya) e raio R.

           Teorema de Ptolomeu

Num quadrilátero qualquer inscrito numa circunferência, a soma dos produtos dos lados opostos é igual ao produto das diagonais.
                             

Demonstração: 

 Sejam Z1, Z2, Z3 e Z4 os números complexos que representam os vértices do quadrilátero sobre a circunferência. Isto implica que                      

(Z1-Z2 / Z3-Z4)/(Z3-Z2 / Z3-Z4)

é um número real negativo r . Isto é, (Z1-Z2).(Z3-Z4)= r.(Z1-Z4).(Z3-Z2).

Portanto,|(Z1-Z2).(Z3-Z4)|+|(Z1-Z4).(Z3-Z2)| = |(Z1-Z2).(Z3-Z4) -(Z1-Z4).(Z3-Z2)|= |(Z1-Z3).(Z2-Z4)|

o que prova o teorema. O fato de r ser negativo implica no link abaixo.
http://www.ias.ac.in/resonance/January2008/p35-53.pdf

Atividades para o Leitor

1. Mostrar que os pontos médios dos lados de um triângulo formam um outro triângulo que é semelhante ao primeiro.
2. Mostrar que os pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero formam um paralelogramo.
3. Dado qualquer quadrilátero podemos construir quadrados em cada um de seus lados mostre que o centro desses quadrados forma um quadrilátero, cujas diagonais são iguais e perpendiculares entre si. Conforme a figura abaixo:

Clique na figura para visualizar a imagem

        

      

Referencia Bibliográfica

www.equiperumoaita.com

www.obm.com

http://www.soensino.com.br/foruns/viewtopic.php?f=6&t=5834

http://www.4shared.com/document/yHVhj02b/Complex_Numbers_from_A_to_Z.htm.