Os números complexos podem ser considerados como pares ordenados de números reais, de maneira que podemos representá-los como pontos no plano. Vamos pressupor que as operações elementares de números complexos (soma, subtração, divisão, multiplicação, conjugado e inverso) são conhecidas pelo leitor.
Nesse blog iremos explorar alguns conceitos de geometria através dos números complexos.
Equação da Reta
Podemos representar os números complexos como pontos no plano:
Dado um número complexo Z=a+bi podemos representar no plano através do par ordenado (a,b). Por meio dessa representação podemos por exemplo, encontrar as equações de reta e circunferencia no plano complexo.
Solução: Fazendo, (w2-w1)= 2+2i-1-i= 1+i ⇒ arg (w2-w1)= π/4
Solução: Fazendo (w2-w1)= i-1 ⇒ arg (w2-w1)= 3π/4
Exemplo: Dados três pontos w1, w2 e w3 , verifique se esses pontos são colineares; dados
Solução: Fazendo t=(w3-w1)/w2-w1
Nesse blog iremos explorar alguns conceitos de geometria através dos números complexos.
Equação da Reta
Podemos representar os números complexos como pontos no plano:
Dado um número complexo Z=a+bi podemos representar no plano através do par ordenado (a,b). Por meio dessa representação podemos por exemplo, encontrar as equações de reta e circunferencia no plano complexo.
Sejam A=(x1,y1) e B=(x2,y2) dois pontos fixados no plano cartesiano representando, respectivamente, os números complexos w1=x1+iy1 e w2=x2 + i y2. Seja P=(x,y) um ponto arbitrário da reta que passa pelos pontos A e B, de modo que z=x+iy seja um número complexo.
Desse modo, temos que :
OA+AP=OP, se, e somente se, w1 + AP = z
OA+AB=OB se, e somente se, w1 + AB =w2
OA+AB=OB se, e somente se, w1 + AB =w2
z−w1=t (w2−w1) onde t é um número real. Logo, a equação da reta é dada pela equação:
Z(t)=w1+t(w2-w1) com t ∈ R
Através da equação da reta podemos verificar quando as retas são paralelas, perpendiculares ou quando três pontos são colineares e é isto que iremos mostrar agora.
1) Quando duas retas são paralelas?
Sejam Z1 a reta que passa pelos pontos w1 e w2 e Z2 a reta que passa por w3 e w4.
Sejam Z1(t)= w1+t(w2-w1) e Z2(t)= w3+t(w4-w3),
onde w1 é o ponto por onde passa a reta e (w2-w1) é a direção da reta
onde w1 é o ponto por onde passa a reta e (w2-w1) é a direção da reta
Se Arg(w2-w1) = Arg(w4-w3)± π ou Arg(w2-w1) = Arg(w4-w3) como os argumentos são iguais, então as retas são paralelas.
Exemplo: Verifique se as retas que passam pelos pontos w1, w2 e w3, w4 são paralelas, onde: w1= 1+i, w2= 2+2i, w3= 2i e w4= 2+4i.
Solução: Fazendo, (w2-w1)= 2+2i-1-i= 1+i ⇒ arg (w2-w1)= π/4
(w4-w3)= 2+4i-2i= 2+2i ⇒ arg(w4-w3)= π/4
Como os argumentos são iguais, as retas são paralelas.
Como os argumentos são iguais, as retas são paralelas.
2) Quando duas retas são perpendiculares?
Sejam Z1(t)=w1+t(w2-w1) e Z2(t)=w3+t(w4-w3)
Se o Arg(w2-w1)= Arg(w4-w3)± π/2 , então as retas são perpendiculares outra maneira é
(w2-w1)/(w4-w3) ser imaginário puro.
(w2-w1)/(w4-w3) ser imaginário puro.
Exemplo: Verifique se as retas que passam pelos pontos w1, w2 e w3, w4 são perpendiculares, dados:W1= 1, w2=i, w3= 1+i e w4= 2+2i.
Solução: Fazendo (w2-w1)= i-1 ⇒ arg (w2-w1)= 3π/4
(w4-w3)= 2+2i-1-i = 1+i ⇒ (w4-w3)= π/4 como o arg(w2-w1)= arg(w4-w3)= ±π/2, as retas acima são ditas perpendiculares.
3) Quando três pontos são colineares?
Dados w1, w2 e w3 números complexos é necessario que estejam sobre a mesma reta , para que os pontos w1,w2,w3 sejam colineares considere:
z(t)=w3 ⇒ w1+t(w2-w1)=w3
Seja z(t) =w1+t(w2-w1) com t ϵ R .
Para que sejam colineares é necessário que exista t ϵ ℜ, tal que: z(t)=w3 ⇒ w1+t(w2-w1)=w3
t(w2-w1)=(w3-w1)
t=(w3-w1)/(w2-w1)
Para que os pontos sejam colineares é necessário que o resultado de
t=(w3-w1)/(w2-w1 )seja um número real.
Exemplo: Dados três pontos w1, w2 e w3 , verifique se esses pontos são colineares; dados
w1=1+i, w2= 2+2i e w3= 3+3i.
Solução: Fazendo t=(w3-w1)/w2-w1
t=(2+2i)-(1+i) / (2+i)-(1+i)
t=(2+2i /1+i ). (1-i /1-i)
t=2-2i ^2 /2
t=4/2
t=2
Logo w1,w2 e w3 são colineares, pois satisfizeram a condição de t ϵ ℜ.
4) Como escrevemos uma mediatriz no plano Complexo?
Mediatriz é a reta que passa pelo ponto médio do segmento de reta que liga os pontos a ao b e é perpendicular a reta que passa pelos pontos a e b.
Mediatriz é a reta que passa pelo ponto médio do segmento de reta que liga os pontos a ao b e é perpendicular a reta que passa pelos pontos a e b.
Utilizando a equação da reta: z(t) = w1+t(w2-w1) com t ϵ ℜ a equação da reta e w1 e w2 números complexos, vamos encontrar a equação da mediatriz de um segmento de extremos nos pontos w1 e w2. A mediatriz procurada é a reta perpendicular à reta r(t) = a+t(b-a) que passa por a e b e pelo ponto médio do segmento ab, portanto w1= (a+b)/2. Assim usando o item 2, temos que
arg (w2-w1)= arg (b-a)+π/2.
Logo a reta mediatriz tem equação dada por: Z(t)=1/2+t (1/2-i-1/2)
Z(t)=1/2-t i
arg (w2-w1)= arg (b-a)+π/2.
Logo a reta mediatriz tem equação dada por: Z(t)=1/2+t (1/2-i-1/2)
Z(t)=1/2-t i
Exemplo: Mostre que as imagens dos complexos Z tais que (Z-1)⁵ = Z⁵ estão em linha reta paralela ao eixo imaginário.
Solução: Sabemos que o modulo de um número complexo é sempre positivo, assim através da igualdade dada no enunciado segue que: |Z-1|= |Z|, ou seja Z pertence a reta do segmento que liga os pontos a=1 e b=0, agora o segmento de reta que liga os pontos a e b é w1=1/2.
6)Dado quatro pontos A, B, C e D no plano e tal que AB é perpendicular a BC e AB é perpendicular a AD, mostre que AD que é o ponto médio de CD é eqüidistante de AB.
Escolhemos o ponto médio de AB como a origem, sendo A igual a -1 e B igual a 1. Com as coordenadas escolhidas temos que: C= 1+y 1 e D= -1+y 2, logo em seguida o ponto médio de CD é dado por: i(y1 + y2)/2 que é claramente eqüidistante de A e B.
7) Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si.
5) Mostre que o segmento de reta que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro.
Os números complexos Z1,Z2,Z3 representam os vértices do triângulo digamos que o segmento [Z2, Z3] corresponde à base. Em seguida, os pontos centrais são dadas por |(Z1 + Z2) / 2|, |(Z1+ Z3) / 2|. Portanto, o comprimento do segmento de reta que os contém é igual a:| (Z1 + Z2) / 2 - (Z1 +Z3 ) / 2 | = (z2+z3) / 2. Podemos então verificar que este segmento de reta é paralelo a base.
Obs: Já mostramos anteriormente quando duas retas são paralelas.
6)Dado quatro pontos A, B, C e D no plano e tal que AB é perpendicular a BC e AB é perpendicular a AD, mostre que AD que é o ponto médio de CD é eqüidistante de AB.
Escolhemos o ponto médio de AB como a origem, sendo A igual a -1 e B igual a 1. Com as coordenadas escolhidas temos que: C= 1+y 1 e D= -1+y 2, logo em seguida o ponto médio de CD é dado por: i(y1 + y2)/2 que é claramente eqüidistante de A e B.
7) Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si.
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Seja |Z|=|W|.
Portanto, (Z+W) i . (Z-W) i= -iZ.Z+ i W.W- i(-ZW+ WZ)= 2¥ (W.Z) que é um numero real. Portanto é paralelo a Z+ W que é o mesmo que dizer Z-W é perpendicular.
Obs: O ponto V representa a soma de Z+W.
Como podemos escrever uma circunferência no plano complexo?
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Uma equação particularmente simples é de uma circunferência conforme a demonstração abaixo.
O conjunto dado por: {z : |Z−a| = R; a ∈ C e R Real} é o conjunto de todos os pontos tais que suas distancias ao complexo a é constante e vale R, pois considere Z=x+yi e a=xa+iya dái, podemos escrever:
|Z-a|=R ⇒
|Z-a|²=R²⇒
|(x+iy)-(xa+iya)|²=R²⇒
(raiz[x-xa)+(y-ya)²])²=R²
(x-xa)² + (y-ya)²= R²
O lugar geométrico descrito é a definição de uma circunferência de centro a e raio R.
|Z-a|=R ⇒
|Z-a|²=R²⇒
|(x+iy)-(xa+iya)|²=R²⇒
(raiz[x-xa)+(y-ya)²])²=R²
(x-xa)² + (y-ya)²= R²
O lugar geométrico descrito é a definição de uma circunferência de centro a e raio R.
O que nos dá a equação analítica de uma circunferência de centro (xa , ya) e raio R.
Teorema de Ptolomeu
Demonstração:
Sejam Z1, Z2, Z3 e Z4 os números complexos que representam os vértices do quadrilátero sobre a circunferência. Isto implica que
(Z1-Z2 / Z3-Z4)/(Z3-Z2 / Z3-Z4)
é um número real negativo r . Isto é, (Z1-Z2).(Z3-Z4)= r.(Z1-Z4).(Z3-Z2).
Portanto,|(Z1-Z2).(Z3-Z4)|+|(Z1-Z4).(Z3-Z2)| = |(Z1-Z2).(Z3-Z4) -(Z1-Z4).(Z3-Z2)|= |(Z1-Z3).(Z2-Z4)|
o que prova o teorema. O fato de r ser negativo implica no link abaixo.
http://www.ias.ac.in/resonance/January2008/p35-53.pdf
http://www.ias.ac.in/resonance/January2008/p35-53.pdf
Atividades para o Leitor
- Mostrar que os pontos médios dos lados de um triângulo formam um outro triângulo que é semelhante ao primeiro.
- Mostrar que os pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero formam um paralelogramo.
- Dado qualquer quadrilátero podemos construir quadrados em cada um de seus lados mostre que o centro desses quadrados forma um quadrilátero, cujas diagonais são iguais e perpendiculares entre si. Conforme a figura abaixo:
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Referencia Bibliográfica
www.equiperumoaita.com
www.obm.com
http://www.soensino.com.br/foruns/viewtopic.php?f=6&t=5834
http://www.4shared.com/document/yHVhj02b/Complex_Numbers_from_A_to_Z.htm.
